（空軍航空大學(xué)航空作戰(zhàn)勤務(wù)學(xué)院，吉林 長春 130022）
0 引言
正交頻分復(fù)用（OFDM,orthogonal frequency division multiplexing）技術(shù)已成為無線通信系統(tǒng)廣泛采用的重要技術(shù)，OFDM 信道質(zhì)量直接決定了通信質(zhì)量。因此，信道估計(jì)已成為OFDM 系統(tǒng)需要重點(diǎn)解決的關(guān)鍵問題之一。在信道為密集信道并且依賴大量導(dǎo)頻信號的基礎(chǔ)上，經(jīng)典最小二乘（LS,least square）算法[1]和最小均方差（MMSE,minimum mean square error）算法[2]可以完成信道的估計(jì)，但由于導(dǎo)頻序列開銷大，需要很多導(dǎo)頻才能得到高的信道估計(jì)性能，且在信道為稀疏信道情況下，其性能并不理想。由于實(shí)際通信環(huán)境中信道表現(xiàn)出很強(qiáng)的稀疏特性，因此基于壓縮感知的稀疏信道估計(jì)成為OFDM系統(tǒng)信道估計(jì)的研究熱點(diǎn)。
當(dāng)信號稀疏先驗(yàn)特性已知時，壓縮感知可以利用低采樣率重構(gòu)出原始信號，典型算法有正交匹配追蹤（OMP,orthogonal matching pursuit）、分段OMP（StOMP,stagewise OMP）[3]、正則化OMP（ROMP,regularization OMP）[4]、壓縮采樣匹配追蹤（CoSaMP,compressed sampling matching pursuit）[5]、廣義正交匹配追蹤（gOMP,generalized OMP）[6]、分段弱正交匹配追蹤（SWOMP,stagewise weak OMP）[7]和子空間追蹤（SP,subspace pursuit）[8]等算法。當(dāng)稀疏度未知時，典型算法有稀疏度自適應(yīng)匹配追蹤（SAMP,sparsity adaptive matching pursuit）算法[9]。文獻(xiàn)[10]提出了基于SAMP 算法的自適應(yīng)正則化壓縮采樣匹配追蹤（ARCoSaMP）算法用于信道估計(jì)。文獻(xiàn)[11]提出了一種自適應(yīng)步長SAMP（ASSAMP）算法并將其用于稀疏信道估計(jì)。文獻(xiàn)[12]在多徑數(shù)量未知且抽頭位置變化的情況下，提出一種基于搜索空間預(yù)處理的自適應(yīng)正交匹配追蹤算法。文獻(xiàn)[13]結(jié)合原子預(yù)選和變步長思想，利用冪函數(shù)型的變步長方法克服SAMP 算法固定步長導(dǎo)致的重建精度低的問題，并得到更好的OFDM 信道估計(jì)性能。文獻(xiàn)[14]考慮信道的時間選擇性和頻率選擇性，研究了組稀疏壓縮感知的OFDM 時變信道估計(jì)方法。文獻(xiàn)[15]提出一種基于有限等距性質(zhì)（RIP,restricted isometry property）的稀疏度預(yù)測自適應(yīng)匹配追蹤算法實(shí)現(xiàn)OFDM 信道估計(jì)。文獻(xiàn)[16]提出優(yōu)化的廣義正交匹配追蹤算法實(shí)現(xiàn)OFDM 信道估計(jì)。文獻(xiàn)[17]基于壓縮感知技術(shù)實(shí)現(xiàn)了OFDM 信道與脈沖噪聲聯(lián)合估計(jì)。塊稀疏自適應(yīng)匹配追蹤算法被用于大規(guī)模多輸入多輸出（MIMO）系統(tǒng)稀疏度自適應(yīng)信道估計(jì)[18]。
以上算法都不同程度地提升了OFDM 稀疏信道估計(jì)性能，但在迭代過程中對算法的計(jì)算量沒有進(jìn)行充分優(yōu)化，導(dǎo)致測量矩陣與殘差矢量內(nèi)積運(yùn)算中仍然存在較大運(yùn)算量，算法運(yùn)行速度比較慢；另一方面，對稀疏度進(jìn)行更新時，稀疏度更新策略也不夠完美，需要進(jìn)行多次迭代才能選出所有合適的原子，迭代效率不高。
針對OFDM 系統(tǒng)信道稀疏度未知以及上述問題，本文提出了一種基于內(nèi)積運(yùn)算優(yōu)化與稀疏度更新約束的壓縮采樣匹配追蹤（IOC-CSMP,compressed sampling matching pursuit based on inner product optimization and sparsity update constraint）快速重構(gòu)算法用于稀疏信道估計(jì)。在信道估計(jì)過程中，首先對信道稀疏度進(jìn)行預(yù)估計(jì)，從而降低后續(xù)迭代次數(shù)；在每次迭代過程中，根據(jù)選擇向量ζ非零值位置索引來選擇測量矩陣Φ中對應(yīng)的原子參與內(nèi)積運(yùn)算，而與選擇向量ζ中零值位置對應(yīng)的原子由于與殘差向量正交，不需要參加后續(xù)迭代，因此內(nèi)積的計(jì)算量得到有效降低。在稀疏度更新階段，利用相鄰兩次信道估計(jì)值hˆΠ和hˆold的能量差來對步長更新進(jìn)行約束，有效提升步長更新的準(zhǔn)確度。仿真結(jié)果表明，與SAMP 算法、ASSAMP 算法相比，當(dāng) OFDM 系統(tǒng)信道稀疏度未知時，IOC-CSMP 算法信道估計(jì)精度更高，運(yùn)行速度更快。
1 OFDM 信道稀疏模型
考慮具有P個子載波的OFDM 系統(tǒng)，其中M個子載波用作導(dǎo)頻，信道長度為N，接收信號可表示為
其 中，X=diag{X(0),X(1),X(2),…,X(P-1)}是P×P維的對角矩陣，表示系統(tǒng)發(fā)送的數(shù)據(jù)符號；y=[y(0),y(1),y(2),…,y(P-1)]T表示接收信號；H=[H(0),H(1),H(2),…,H(P-1)]T表示信道頻域響應(yīng)采樣值；n=[n(0),n(1),n(2),…,n(P-1)]T表示復(fù)加性白高斯噪聲；W表示P×N維離散傅里葉變換矩陣。
式(3)由式(1)兩邊左乘矩陣S得到。其中，yM是M× 1維向量，XM=SXST是M×M維對角矩陣，WM=SW是M×N維矩陣，nM=Sn是M× 1維噪聲向量，Φ=X MWM是M×N維測量矩陣。可以看出，h可以通過測量矩陣Φ和接收的導(dǎo)頻信號yM利用稀疏重構(gòu)算法來進(jìn)行重構(gòu)，然后對信道頻域響應(yīng)進(jìn)行估計(jì)。
2 IOC-CSMP 快速重構(gòu)算法
2.1 稀疏度預(yù)估計(jì)
假設(shè)測量矩陣Φ以參數(shù)(K,δk)滿足RIP，如果K0≥K，那么式(4)成立[19]。
同樣，式(4)的逆否命題也成立，即如果
那么K0＜K，利用式(4)和式(5)可以得到稀疏度K的預(yù)估值。
2.2 內(nèi)積運(yùn)算優(yōu)化
當(dāng)δ3k＜ 0.082時，滿足稀疏重構(gòu)條件所具備的RIP 條件[20]，也就是說，在每次迭代中只要參與重構(gòu)的原子數(shù)不超過3K，那么重構(gòu)算法就可以對稀疏信號進(jìn)行重構(gòu)。
貪婪類重構(gòu)算法利用測量矩陣Φ的列與殘差向量的內(nèi)積來選擇最優(yōu)原子。根據(jù)上述分析，每次迭代時，計(jì)算殘差向量與測量矩陣Φ的每個原子的內(nèi)積，則支持集由最大的2K個內(nèi)積元素對應(yīng)的原子組成。當(dāng)測量矩陣Φ的列數(shù)較大時，大幅增加了內(nèi)積運(yùn)算的計(jì)算量。目前，對內(nèi)積運(yùn)算的優(yōu)化較少，因此本文提出下列算法對內(nèi)積運(yùn)算進(jìn)行優(yōu)化。
通過本文研究成果的試點(diǎn)、探索、改進(jìn)，輔助某市級供電企業(yè)初步構(gòu)建配網(wǎng)主動運(yùn)維檢修工作機(jī)制，有效降低了配網(wǎng)故障事件發(fā)生、提升了供電服務(wù)質(zhì)量，取得了良好的經(jīng)濟(jì)效益和社會效益：
ζ中每個元素i的位置與測量矩陣Φ中每個原子的位置一一對應(yīng)。在迭代過程中，當(dāng)利用暫態(tài)解βtemp得到K個最大元素相應(yīng)的索引集Π= [k,m,…,n]時，將向量ζ中與索引集Π對應(yīng)索引位置處的值變?yōu)榱�，�?/P>
由于與索引集Π= [k,m,…,n]對應(yīng)的測量矩陣Φ中K個原子是當(dāng)次迭代的局部最優(yōu)解，此時得到的K個原子與殘差向量在理想情況下是正交的。因此，在下一次迭代計(jì)算內(nèi)積時就可以根據(jù)選擇向量ζ中非零值位置選擇測量矩陣Φ中對應(yīng)的原子參與內(nèi)積運(yùn)算，而選擇向量ζ中零值位置的原子與殘差向量正交，不需要繼續(xù)參加后續(xù)迭代過程。這樣，對于內(nèi)積運(yùn)算，每次迭代過程中參與計(jì)算的原子數(shù)越來越少，內(nèi)積的計(jì)算量就越來越小，算法運(yùn)算速度越來越快，尤其是在稀疏度K較大的場合下，這種優(yōu)勢越來越明顯。
2.3 迭代終止分析與稀疏度更新策略
在算法回溯階段，可以得到每次迭代的信道估計(jì)值為
在每次迭代過程中，對應(yīng)的ΦΠ是由Φ中真實(shí)的個原子構(gòu)成的矩陣。對于信道估計(jì)，由式(6)得到的為當(dāng)前迭代過程中信道估計(jì)的最優(yōu)值，隨著迭代過程的不斷進(jìn)行，只要外界的信噪比不發(fā)生突變，那么值就會逐漸趨于穩(wěn)定，也就是說值的穩(wěn)定性不會隨信噪比的變化而變化�？紤]相鄰兩次迭代信道估計(jì)值的能量差值為
由于值會隨著迭代不斷進(jìn)行而趨于穩(wěn)定，因此理想情況下�！� 0，考慮到實(shí)際情況，可設(shè)置迭代終止條件為
其中，η為迭代終止因子，且η∈ (0,1)。在迭代過程中，固定的步長會導(dǎo)致迭代速度和信號重構(gòu)精度之間的矛盾，而變步長則可以解決這種問題。當(dāng)信道重構(gòu)逼近目標(biāo)值時，將使用較小的步長來提高信道的重構(gòu)精度。因此，可以繼續(xù)利用Γ值作為稀疏度更新步長的選擇依據(jù)。當(dāng)相鄰兩次迭代稀疏信道估計(jì)值能量差異較大，即Γ＞ε時，則選擇大步長μ2來加快迭代速度；當(dāng)Γ＜ε時，說明稀疏度估計(jì)值已接近信道真實(shí)稀疏度K，則選擇小步長μ1(μ1＜μ2)避免出現(xiàn)過估計(jì)問題。其中，ε是步長選擇門限因子且ε∈ (0,1)，要求ε＞η，因?yàn)槿籀牛鸡�，算法無法進(jìn)入小步長選擇階段，導(dǎo)致信道估計(jì)精度無法保證。
2.4 算法步驟
2.5 算法計(jì)算復(fù)雜度分析
理論分析可知，在采用變步長策略條件下，算法的迭代過程會迅速收斂，一般條件下迭代次數(shù)T＜K，實(shí)際情況下稀疏度K通常滿足K2≤Ο(N)，因此計(jì)算復(fù)雜度近似為Ο(KM(N-K))。SAMP 算法中每一次迭代都可視為SP算法[8]，因此計(jì)算復(fù)雜度上界近似為Ο(KMN)，ASSMAP 算法[11]可視為SAMP算法的個例，因此計(jì)算復(fù)雜度為Ο(KMN)，對于OMP，一次迭代所需的浮點(diǎn)運(yùn)算為 2KMN+3K2M，算法的計(jì)算復(fù)雜度上界為Ο(KMN)。可以看出，與OMP、SAMP 和ASSMAP 算法相比，本文算法的計(jì)算量更小，算法的迭代速度更快。
3 仿真與分析
本節(jié)對IOC-CSMP 算法的OFDM 信道估計(jì)性能進(jìn)行仿真和驗(yàn)證，并與LS、MMSE、SAMP、ASSAMP 等算法的性能進(jìn)行比較，仿真實(shí)驗(yàn)主要分析信道估計(jì)的誤碼率（BER,bit error rate）與均方誤差（MSE,mean square error）的變化情況。假設(shè)OFDM 系統(tǒng)調(diào)制方式為 64QAM，子載波數(shù)目N= 512，載波間隔為13 kHz，帶寬為6.65 MHz，導(dǎo)頻數(shù)Np=16，導(dǎo)頻形狀為塊狀導(dǎo)頻，信道長度L=64，OFDM 符號數(shù)為30，信道稀疏度K=6，信道非零抽頭位置服從均勻分布，并且在每一個OFDM 符號內(nèi)都是不同的，信道信噪比變化范圍為5～30 dB，μ1=1，μ2=3，ε= 3 × 1 0-3，η= 1 × 10-5。
圖1 MSE 隨SNR 的變化
采用 LS、MMSE、ASSAMP、SAMP 和IOC-CSMP 算法進(jìn)行OFDM 信道估計(jì)時，BER 隨SNR 的變化如圖2 所示。當(dāng)SNR 較小時，信道受噪聲影響較大，不同算法的BER 差異不大；隨著SNR 增大，BER 逐漸減小，且不同算法之間的差異增大。從圖2 可以看出，與其他算法相比，不同SNR下IOC-CSMP 算法的BER 都較小，表現(xiàn)出良好的信道估計(jì)性能。同時，從圖1 和圖2 可以看出，IOC-CSMP 算法僅利用子載波總數(shù)3.13%的導(dǎo)頻數(shù)就能對OFDM 稀疏信道進(jìn)行準(zhǔn)確估計(jì)，有利于提升頻譜利用率。
圖2 BER 隨SNR 的變化
當(dāng)SNR=25 dB，導(dǎo)頻數(shù)分別為8、16、32、64 時，不同算法的MSE 和BER 隨導(dǎo)頻數(shù)的變化分別如圖3 和圖4 所示。從圖3 和圖4 可以看出，不同算法的MSE 和BER 隨導(dǎo)頻數(shù)的增加呈下降趨勢。IOC-CSMP 算法的MSE 和BER 性能整體上優(yōu)于其他算法，信道估計(jì)性能良好；當(dāng)導(dǎo)頻數(shù)超過16時，其MSE 和BER 的下降趨勢相對平緩，信道估計(jì)性能并未大幅度提升。從頻譜利用率來看，當(dāng)導(dǎo)頻數(shù)為16 時，即可滿足信道估計(jì)性能與頻譜利用率的綜合需求。
圖3 MSE 隨導(dǎo)頻數(shù)的變化
圖4 BER 隨導(dǎo)頻數(shù)的變化
當(dāng)導(dǎo)頻數(shù)Np=32，稀疏度K分別為6、9、12時，SAMP、ASSAMP 和IOC-CSMP 算法的MSE隨SNR 的變化如圖5 所示。從圖5 可以看出，在不同信道稀疏度下，IOC-CSMP 算法的信道估計(jì)性能整體優(yōu)于SAMP 算法和ASSAMP 算法。與圖1相比，導(dǎo)頻數(shù)Np=32、K=6時，算法的信道估計(jì)性能更好，但此時導(dǎo)頻數(shù)在子載波總數(shù)的占比提升了一倍，頻譜利用率會有所降低。
圖5 不同稀疏度下MSE 隨SNR 的變化
當(dāng)稀疏度K分別為5 和13 時，LS、MMSE、ASSAMP、SAMP 和IOC-CSMP 算法的信道估計(jì)時間隨符號數(shù)的變化如圖6 所示。從圖6 可以看出，在不同稀疏度條件下，IOC-CSMP 算法的信道估計(jì)時間少于SAMP 算法和ASSAMP 算法，并且隨OFDM 符號數(shù)的增加信道估計(jì)時間變化不大。這是因?yàn)镮OC-CSMP 算法的運(yùn)算量比SAMP 算法和ASSAMP算法小，能在較短的時間內(nèi)完成OFDM 信道估計(jì)。
圖6 不同稀疏度下信道估計(jì)時間隨符號數(shù)的變化
當(dāng)導(dǎo)頻數(shù)Np=64、稀疏度K=8時，在不同稀疏度更新步長μ1和μ2條件下，IOC-CSMP 算法進(jìn)行OFDM信道估計(jì)時MSE隨SNR的變化如圖7所示。從圖7 可以看出，μ1和μ2較小時MSE 較小，可以獲得較好的信道估計(jì)性能。這是因?yàn)棣?和μ2較小時，在信道稀疏度自適應(yīng)更新過程中，稀疏度估計(jì)值能更準(zhǔn)確地逼近真實(shí)的稀疏度K，從而使估計(jì)精度更準(zhǔn)確。
圖7 不同稀疏度更新步長下MSE 隨SNR 的變化
4 結(jié)束語
本文針對無線信道路徑數(shù)量未知情況下OFDM系統(tǒng)稀疏信道估計(jì)問題，提出了一種基于內(nèi)積運(yùn)算優(yōu)化與稀疏度更新約束的壓縮采樣匹配追蹤快速重構(gòu)算法。首先對信道稀疏度進(jìn)行預(yù)估計(jì)來降低后續(xù)迭代次數(shù)，基于壓縮采樣思想不斷更新并擴(kuò)大支搜集來逐步逼近信道的稀疏度；通過構(gòu)建與不斷更新選擇向量，利用選擇向量中零值位置對應(yīng)的原子與殘差向量的正交性，在內(nèi)積運(yùn)算中僅利用與選擇向量中非零值位置索引對應(yīng)的原子參與運(yùn)算，有效降低算法的運(yùn)算量，保證IOC-CSMP 算法快速收斂和估計(jì)精度。仿真結(jié)果表明，IOC-CSMP 算法比傳統(tǒng)的LS、MMSE 算法和SAMP、ASSMAP 算法具有更好的MSE性能和BER性能，比SAMP和ASSMAP算法需要更少的信道估計(jì)時間，算法運(yùn)行速度更快。
