（1.哈爾濱工程大學(xué)信息與通信工程學(xué)院，黑龍江 哈爾濱 150001；2.哈爾濱工程大學(xué)智能科學(xué)與工程學(xué)院，黑龍江 哈爾濱 150001）
0 引言
近年來(lái)，頻控陣（FDA,frequency diverse array）雷達(dá)作為新體制雷達(dá)憑借其獨(dú)特的性能優(yōu)勢(shì)得到了國(guó)內(nèi)外研究人員的關(guān)注[1-2]。頻控陣?yán)走_(dá)是在相控陣?yán)走_(dá)的基礎(chǔ)上，通過(guò)在相鄰陣元發(fā)射的信號(hào)中引入微小頻偏，使方向圖具有角度和距離的雙重依賴性，可以形成二維空間譜對(duì)目標(biāo)進(jìn)行定位，且在相同帶寬的條件下，可以獲得比相控陣?yán)走_(dá)更強(qiáng)的距離分辨力和抗干擾能力。頻控陣?yán)走_(dá)可以與多輸入多輸出（MIMO,multiple-input multiple-output）技術(shù)結(jié)合[3]，實(shí)現(xiàn)角度維和距離維的解耦合，并提高自由度以定位多個(gè)目標(biāo)。關(guān)于頻控陣MIMO 雷達(dá)的研究已全方位展開(kāi)。對(duì)于目標(biāo)檢測(cè)問(wèn)題，文獻(xiàn)[4]研究了一種廣義似然比自適應(yīng)檢測(cè)方法，將對(duì)單個(gè)目標(biāo)的檢測(cè)問(wèn)題將轉(zhuǎn)化為半正定規(guī)劃問(wèn)題，并用譜峰搜索和牛頓迭代法求解。對(duì)于方位參數(shù)估計(jì)問(wèn)題，文獻(xiàn)[5]提出了一種對(duì)低仰角目標(biāo)的角度和距離進(jìn)行估計(jì)實(shí)現(xiàn)定位的方法；文獻(xiàn)[6]提出了一種近似極大似然（ML,maximum likelihood）方法，用在單快拍條件下對(duì)目標(biāo)進(jìn)行定位。為了得到參數(shù)估計(jì)精度的理論極限，文獻(xiàn)[7]推導(dǎo)了角度、距離與速度估計(jì)的理論誤差，得到了克拉美羅界（CRB,Cramér-Rao bound）。對(duì)于空間中多個(gè)目標(biāo)的多個(gè)參數(shù)同時(shí)估計(jì)，現(xiàn)有研究集中于多維參數(shù)估計(jì)及其快速實(shí)現(xiàn)方法，如文獻(xiàn)[8]提出了一種基于迭代插值傅里葉系數(shù)法進(jìn)行定位的方法，文獻(xiàn)[9]提出了用降維與解耦的方法進(jìn)行發(fā)射角、接收角和距離的聯(lián)合估計(jì)，但這些方法局限于多維估計(jì)的框架內(nèi)，當(dāng)目標(biāo)數(shù)較多時(shí)由于估計(jì)維度的增加而難以準(zhǔn)確求解。
更關(guān)鍵的問(wèn)題是，已有的基于頻控陣MIMO雷達(dá)的參數(shù)估計(jì)方法均需要目標(biāo)（信源）數(shù)作為先驗(yàn)信息，當(dāng)不知道準(zhǔn)確的目標(biāo)數(shù)時(shí)，參數(shù)估計(jì)方法也會(huì)惡化甚至失效。傳統(tǒng)的雷達(dá)信號(hào)處理方法將目標(biāo)數(shù)估計(jì)與參數(shù)估計(jì)作為2 個(gè)分離的步驟，即先得到目標(biāo)數(shù)的估計(jì)值，再將其代入后續(xù)的參數(shù)估計(jì)器中完成定位等任務(wù)。現(xiàn)有的目標(biāo)數(shù)估計(jì)方法中，最具代表性且應(yīng)用最廣泛的方法是以Akaike 信息論準(zhǔn)則（AIC,Akaike’s information criterion）和最小描述長(zhǎng)度（MDL,minimum description length）準(zhǔn)則為代表的估計(jì)準(zhǔn)則，這類方法通過(guò)最小化假設(shè)模型和觀測(cè)數(shù)據(jù)之間的Kullback-Leibler 距離確定目標(biāo)數(shù)[10]。而參數(shù)估計(jì)方法則可以根據(jù)是否需要數(shù)據(jù)協(xié)方差矩陣的結(jié)構(gòu)信息，分為非參數(shù)化估計(jì)方法和參數(shù)化估計(jì)方法。非參數(shù)化估計(jì)主要包括波束成形法和最小方差無(wú)畸變響應(yīng)（MVDR,minimum variance distortionless response）波束成形法，可以直接利用協(xié)方差矩陣得到空間譜。其他大部分估計(jì)方法如多重信號(hào)分類（MUSIC）法和極大似然法則需要根據(jù)目標(biāo)數(shù)重構(gòu)信號(hào)，然后進(jìn)行分解或擬合才能得到估計(jì)的結(jié)果。
在分離式的目標(biāo)數(shù)與參數(shù)估計(jì)方法中，由于離散的目標(biāo)數(shù)估計(jì)與連續(xù)的多維參數(shù)估計(jì)是級(jí)聯(lián)關(guān)系，若目標(biāo)數(shù)估計(jì)發(fā)生錯(cuò)誤，不僅會(huì)造成漏警或虛警，而且會(huì)影響后續(xù)的參數(shù)估計(jì)性能。多年的研究已證明，目標(biāo)數(shù)估計(jì)方法的發(fā)展滯后于參數(shù)估計(jì)方法，目標(biāo)數(shù)估計(jì)方法的落后已經(jīng)影響到高精度參數(shù)估計(jì)方法的實(shí)際應(yīng)用效果。有學(xué)者嘗試將目標(biāo)數(shù)估計(jì)與參數(shù)估計(jì)聯(lián)合處理以降低系統(tǒng)復(fù)雜度并更加充分地利用信號(hào)信息。文獻(xiàn)[11]將目標(biāo)數(shù)估計(jì)轉(zhuǎn)化為多個(gè)子優(yōu)化問(wèn)題，但要求將雷達(dá)分布放置以實(shí)現(xiàn)空間分集；文獻(xiàn)[12]利用噪聲子空間的代數(shù)結(jié)構(gòu)估計(jì)多個(gè)目標(biāo)，但只適用于點(diǎn)源的估計(jì)。文獻(xiàn)[13-15]研究了檢測(cè)前跟蹤方法，這類方法不需要設(shè)定檢測(cè)門限，但仍需要用譜峰搜索等方法求解才能得到估計(jì)結(jié)果，效率低且存在量化誤差，且上述方法僅適用于相控陣?yán)走_(dá)的目標(biāo)數(shù)或波達(dá)方向參數(shù)的估計(jì)。
本文在現(xiàn)有的頻控陣MIMO 雷達(dá)研究的基礎(chǔ)上，針對(duì)現(xiàn)有目標(biāo)數(shù)估計(jì)方法在低信噪比情況下準(zhǔn)確率較低、高精度定位算法計(jì)算復(fù)雜度過(guò)高的問(wèn)題，對(duì)目標(biāo)數(shù)和方位參數(shù)的聯(lián)合估計(jì)問(wèn)題進(jìn)行數(shù)學(xué)建模，提出了一種頻控陣MIMO 雷達(dá)的目標(biāo)數(shù)和方位聯(lián)合估計(jì)方法。將目標(biāo)數(shù)和方向與距離參數(shù)聯(lián)合估計(jì)轉(zhuǎn)化為對(duì)空間譜譜峰個(gè)數(shù)的檢測(cè)和對(duì)譜峰位置定位的二維多峰優(yōu)化問(wèn)題，降低了搜索維度并設(shè)計(jì)了基于密度的多峰差分進(jìn)化算法對(duì)多峰問(wèn)題快速準(zhǔn)確求解，相比于譜峰搜索或多維優(yōu)化類參數(shù)估計(jì)方法顯著降低了計(jì)算量，實(shí)現(xiàn)了目標(biāo)數(shù)與方位聯(lián)合估計(jì)，即利用空域信息在估計(jì)目標(biāo)數(shù)的同時(shí)得到方位參數(shù)估計(jì)結(jié)果。
1 頻控陣MIMO 雷達(dá)的數(shù)學(xué)模型
假設(shè)收發(fā)共址的頻控陣MIMO 雷達(dá)由M個(gè)發(fā)射陣元和N個(gè)接收陣元組成的陣列構(gòu)成，陣元間距均為d，相鄰的發(fā)射陣元的工作頻率之間存在線性增量Δf，第m個(gè)陣元發(fā)射信號(hào)的工作頻率為fm=fc+(m-1)Δf，fc為載波頻率，滿足 Δf≪fc。設(shè)第一個(gè)發(fā)射陣元和接收陣元為參考陣元，陣元部署示意如圖1 所示。
圖1 陣元部署示意
在t時(shí)刻，第m個(gè)陣元發(fā)射的歸一化信號(hào)幅度為x m(t)，各個(gè)陣元發(fā)射的信號(hào)波形在每個(gè)脈沖持續(xù)時(shí)間Tp內(nèi)相互正交，即滿足
其中，υ為時(shí)延，*為共軛運(yùn)算。發(fā)射信號(hào)經(jīng)目標(biāo)反射，產(chǎn)生衰落、相移并與加性噪聲疊加后得到接收信號(hào)。假設(shè)空間中存在K個(gè)目標(biāo)，其中第k個(gè)目標(biāo)相對(duì)于陣列法線方向的角度為θk，相對(duì)于發(fā)射和接收參考陣元的距離均為rk，則第m個(gè)發(fā)射信號(hào)經(jīng)過(guò)第k個(gè)目標(biāo)反射后到達(dá)第n個(gè)陣元的雙程傳播時(shí)延為
其中，c為電磁波傳播速度。則在窄帶假設(shè)下，第n個(gè)陣元接收到的反射信號(hào)由各回波信號(hào)疊加得到，即
其中，ξk為第k個(gè)目標(biāo)反射后回波信號(hào)的復(fù)系數(shù)，包含了目標(biāo)的反射系數(shù)、路徑損耗和多普勒頻移。將時(shí)延和工作頻率代入式(3)，得到相位項(xiàng)的具體形式為
再將每個(gè)陣元接收到的數(shù)據(jù)通過(guò)M個(gè)匹配濾波器和混頻器，其中，第l個(gè)匹配濾波器的脈沖響應(yīng)與第m個(gè)發(fā)射波形對(duì)應(yīng)，表示為，l= 1,2,…,M。第n個(gè)陣元經(jīng)過(guò)第l個(gè)匹配濾波器的輸出為
匹配濾波的推導(dǎo)過(guò)程如附錄1 所示。由匹配濾波器與發(fā)射信號(hào)的對(duì)應(yīng)關(guān)系，將第l個(gè)濾波器的輸出通過(guò)混頻器，即乘以，并將結(jié)果標(biāo)記為，具體形式為
雷達(dá)接收機(jī)的信號(hào)處理示意如圖2 所示。
圖2 雷達(dá)接收機(jī)的信號(hào)處理示意
2 聯(lián)合的目標(biāo)數(shù)與方位參數(shù)估計(jì)方法
2.1 聯(lián)合估計(jì)方法
對(duì)于本文所研究的頻控陣MIMO 雷達(dá)，當(dāng)空間中目標(biāo)數(shù)未知時(shí)，可以利用非參數(shù)化方法，僅用單個(gè)角度和距離組成的導(dǎo)向矢量γ(θ,r)重構(gòu)接收信號(hào)，得到 MVDR 算法的二維空間譜函數(shù)為。當(dāng)存在5 個(gè)目標(biāo)時(shí)，頻控陣MIMO 雷達(dá)的MVDR 空間譜示意如圖3所示。采用譜峰搜索法求解時(shí)，需要對(duì)連續(xù)的解空間進(jìn)行等間隔離散化采樣，相鄰采樣點(diǎn)的距離被稱為掃描間隔。由于非采樣點(diǎn)上的方位也需要被采樣點(diǎn)上的數(shù)值近似表示，故真實(shí)方位與譜峰所在采樣點(diǎn)的距離稱為量化誤差。連續(xù)空間被有限個(gè)離散數(shù)值表示的過(guò)程決定了譜峰搜索的量化誤差無(wú)法消除，且掃描間隔越小計(jì)算量越大。為了同時(shí)得到目標(biāo)數(shù)與方位參數(shù)的準(zhǔn)確估計(jì)值，本文設(shè)計(jì)了基于密度的多峰差分進(jìn)化（DBMDE,density-based multimodal differential evolution）算法對(duì)空間譜函數(shù)這個(gè)二維多峰優(yōu)化問(wèn)題進(jìn)行求解。理想情況下，空間譜的每個(gè)峰對(duì)應(yīng)一個(gè)目標(biāo)，得到的有效譜峰個(gè)數(shù)即目標(biāo)數(shù)估計(jì)值，譜峰的位置經(jīng)線性映射即參數(shù)估計(jì)值。由此可以實(shí)現(xiàn)對(duì)多個(gè)目標(biāo)的聯(lián)合目標(biāo)數(shù)估計(jì)與方位估計(jì)，既規(guī)避了繁重的多維搜索，也不存在量化誤差。
圖3 當(dāng)存在5 個(gè)目標(biāo)時(shí)，頻控陣MIMO 雷達(dá)的MVDR 空間譜示意
2.2 基于密度的多峰差分進(jìn)化算法
差分進(jìn)化算法是一類智能優(yōu)化算法，算法中個(gè)體的分布和進(jìn)化方向取決于個(gè)體間的差異。經(jīng)典的差分進(jìn)化算法是一種多維優(yōu)化算法，只能找到單個(gè)的全局最優(yōu)值，但具有優(yōu)異的尋優(yōu)性能，因此差分進(jìn)化算法也被改進(jìn)用于解決多峰優(yōu)化問(wèn)題。已有的各種多峰差分進(jìn)化算法及變體形式均需要峰的個(gè)數(shù)作為先驗(yàn)信息[16]，而本文設(shè)計(jì)的基于密度的多峰差分進(jìn)化算法可以在峰個(gè)數(shù)未知的條件下，在迭代過(guò)程中利用密度聚類方法檢測(cè)峰的個(gè)數(shù)（即根據(jù)種群中個(gè)體的密集程度檢測(cè)出高密度區(qū)域），并利用改進(jìn)的差分進(jìn)化策略進(jìn)行多峰尋優(yōu)搜索確定峰的準(zhǔn)確位置。
2.2.1 基于密度聚類確定峰的個(gè)數(shù)
設(shè)種群由P個(gè)二維個(gè)體組成，每一維分別對(duì)應(yīng)目標(biāo)的角度和距離，算法的最大迭代次數(shù)為G。在初代，每個(gè)個(gè)體的每一維都被初始化為[0,1] 的均勻隨機(jī)數(shù)。
基于密度的聚類方法通過(guò)衡量個(gè)體之間的緊密程度來(lái)判斷個(gè)體之間的可連接性，本文所提方法將基于密度的噪聲點(diǎn)空間聚類（DBSCAN）算法[17]引入迭代尋優(yōu)的過(guò)程中，利用當(dāng)前種群中的個(gè)體分布的密度關(guān)系對(duì)其進(jìn)行聚類，使處于同一個(gè)峰附近的個(gè)體共同演進(jìn)。個(gè)體間的密度關(guān)系由2個(gè)鄰域參數(shù)確定，分別是半徑參數(shù)ε（形成密度直達(dá)關(guān)系所需的最大距離）和數(shù)量參數(shù)κ（形成密集區(qū)域所需的最小個(gè)體數(shù)），其中，ε隨迭代次數(shù)的增加而衰減，以逐漸分辨位置相近的峰（形成新的密集區(qū)域）。由此，在算法的第g次迭代中將得到Qg個(gè)密集區(qū)域樣本的集合（稱為簇），并將種群中不屬于任何簇的個(gè)體作為噪聲點(diǎn)丟棄。聚類后第q個(gè)簇中含有的個(gè)體數(shù)為P g(q)，第q個(gè)簇中適應(yīng)度最大的個(gè)體為最優(yōu)個(gè)體，q= 1,2,…,Qg。
2.2.2 利用改進(jìn)的差分進(jìn)化策略進(jìn)行多峰尋優(yōu)
本文設(shè)計(jì)了改進(jìn)的多峰差分進(jìn)化策略，由變異和交叉兩步組成。在變異步驟中，第q個(gè)子種群中第p個(gè)變異個(gè)體的生成式為
最后，將全部子種群合并，生成下一代種群。隨著迭代次數(shù)的增加，每個(gè)子種群中的個(gè)體向峰值點(diǎn)靠攏，Qg也將趨于穩(wěn)定。當(dāng)聚類得到的簇個(gè)數(shù)Qg連續(xù)代不發(fā)生變化，則判定算法已經(jīng)找到全部的峰，不再執(zhí)行DBSCAN 算法以節(jié)省計(jì)算量，每個(gè)子種群按照當(dāng)前的聚類結(jié)果繼續(xù)尋優(yōu)搜索直到達(dá)到最大迭代次數(shù)。
2.2.3 異常個(gè)體篩選
由于噪聲的存在和搜索邊界的限制，算法定位到的峰不一定都是有效的，需要將有效峰和偽峰進(jìn)行區(qū)分。計(jì)算每個(gè)子種群中的峰值即最優(yōu)個(gè)體的適應(yīng)度值，并按由大到小的順序重新排列為，若相鄰適應(yīng)度之比小于判決門限η，即，則保留全部的峰為有效峰；否則判定存在偽峰。根據(jù)原型聚類的原理，使有效峰與偽峰對(duì)應(yīng)的峰值及其均值的平方誤差和最小，找到有效峰與偽峰的劃分點(diǎn)，即有效峰的個(gè)數(shù)為
目標(biāo)數(shù)與方位參數(shù)聯(lián)合估計(jì)的步驟如下。
步驟1發(fā)射正交信號(hào)，并對(duì)接收信號(hào)進(jìn)行匹配濾波和混頻處理。
步驟2對(duì)輸出信號(hào)進(jìn)行采樣，計(jì)算得到協(xié)方差矩陣。
步驟3利用DBMDE 算法，同時(shí)得到有效峰的個(gè)數(shù)及其位置，DBMDE 算法流程如圖 4所示。
圖4 DBMDE 算法流程
步驟4進(jìn)行映射并輸出結(jié)果，同時(shí)得到目標(biāo)數(shù)與方位參數(shù)的聯(lián)合估計(jì)結(jié)果。
3 實(shí)驗(yàn)分析
本節(jié)通過(guò)數(shù)據(jù)仿真進(jìn)行實(shí)驗(yàn)分析，頻控陣MIMO 雷達(dá)和DBMDE 算法的仿真參數(shù)如表1 和表2 所示。考慮存在3～5 個(gè)目標(biāo)的情況，分別對(duì)目標(biāo)數(shù)估計(jì)與方位參數(shù)估計(jì)的性能進(jìn)行比較和分析。當(dāng)存在 3 個(gè)目標(biāo)時(shí)，中心角度分別為{- 4 0°,5°,45°}，中心距離分別為{3 km,7 km,4 km} ；當(dāng)存在 4 個(gè)目標(biāo)時(shí)，中心角度分別為{-4 0°,-10°,20°,40°}，中心距離分別為{5 km,2 km,8 km,4 km} ；當(dāng)存在5 個(gè)目標(biāo)時(shí)，中心角度分別為{- 4 5°,-30°,5°,30°,50°}，中心距離分別為{2 .5 km,7 km,5 km,2 km,6 km} 。每次獨(dú)立實(shí)驗(yàn)中，遠(yuǎn)場(chǎng)目標(biāo)的方位參數(shù)為中心角度疊加（-1 0°,10° ）的均勻隨機(jī)數(shù)和中心距離疊加（-1000,1000）的均勻隨機(jī)數(shù)。若無(wú)特殊說(shuō)明，每個(gè)目標(biāo)回波的系數(shù)ξk為(0,2)的均勻隨機(jī)數(shù)。
表1 頻控陣MIMO 雷達(dá)的仿真參數(shù)
表2 DBMDE 算法的仿真參數(shù)
3.1 目標(biāo)數(shù)估計(jì)性能分析
本節(jié)實(shí)驗(yàn)用估計(jì)目標(biāo)數(shù)的成功概率分析所提DBMDE 算法的性能，對(duì)比算法包括AIC、MDL、EDC（efficient detection criteria）和SORTE（second order statistic of the eigenvalues）檢測(cè)算法[18]。若估計(jì)得到的目標(biāo)數(shù)與實(shí)際目標(biāo)數(shù)相等，則判定為估計(jì)成功，Monte Carlo 仿真次數(shù)為1 000 次。假設(shè)4 個(gè)目標(biāo)具有相同的回波系數(shù)且忽略起伏效應(yīng)，得到的估計(jì)成功概率與信噪比（SNR,signal-to-noise ratio）關(guān)系如圖5 所示。而實(shí)際情況中，每個(gè)目標(biāo)的反射面積往往是不相等的，若每個(gè)目標(biāo)回波系數(shù)取值為(0,2)的均勻隨機(jī)數(shù)，其他條件不變，得到的仿真結(jié)果如圖6 所示。當(dāng)圖5 中SNR＜-8 dB 和圖6 中SNR＜-10 dB 時(shí)，DBMDE 算法的目標(biāo)數(shù)估計(jì)性能與AIC 算法互有優(yōu)劣；但在更高信噪比條件下，由于AIC 算法不是一致估計(jì)，趨于過(guò)估計(jì)目標(biāo)數(shù)[10]，DBMDE 算法估計(jì)成功概率則趨于1。相比于僅依據(jù)特征值大小得到目標(biāo)數(shù)估計(jì)結(jié)果的傳統(tǒng)算法，DBMDE 算法取得性能優(yōu)勢(shì)的原因在于對(duì)目標(biāo)空域信息的利用。
圖5 目標(biāo)回波系數(shù)相同時(shí)目標(biāo)數(shù)估計(jì)成功概率與信噪比關(guān)系
圖6 目標(biāo)回波系數(shù)不同時(shí)目標(biāo)數(shù)估計(jì)成功概率與信噪比關(guān)系
當(dāng)存在3 個(gè)目標(biāo)且SNR=-10 dB 時(shí)，得到的估計(jì)成功概率與快拍數(shù)關(guān)系如圖7 所示。在低信噪比和小快拍的惡劣條件下，信號(hào)子空間被污染，基于特征分解的目標(biāo)數(shù)估計(jì)方法難以找到準(zhǔn)確的結(jié)果，而DBMDE 算法具有更高的估計(jì)成功概率，說(shuō)明其在復(fù)雜環(huán)境下具有通用性。值得注意的是，雖然這里只展示了所提算法的目標(biāo)數(shù)估計(jì)性能，但實(shí)際上方位參數(shù)的估計(jì)也同步完成了。
圖7 目標(biāo)數(shù)估計(jì)成功概率與快拍數(shù)關(guān)系
3.2 方位參數(shù)估計(jì)性能分析
本節(jié)將所提DBMDE 算法與其他算法的角度和距離估計(jì)的均方根誤差及成功概率進(jìn)行對(duì)比。對(duì)比算法包括基于旋轉(zhuǎn)不變技術(shù)（ESPRIT）[19]、MUSIC、經(jīng)典波束成形（CBF,classical beam forming）和基于多維差分進(jìn)化算法求解ML 的算法，CRB 被用于展示理論估計(jì)性能，推導(dǎo)過(guò)程如附錄 2 所示，Monte Carlo 仿真次數(shù)均為100 次。
經(jīng)典的多維差分進(jìn)化算法被直接用來(lái)求解極大似然方程時(shí)，根據(jù)文獻(xiàn)[20]設(shè)置參數(shù)如下：個(gè)體數(shù)為60，最大迭代次數(shù)為1 200 次，差分權(quán)重取值范圍為[0.5,1]，交叉概率為0.9。MUSIC 與CBF 算法的掃描間隔為1°和100 m。ESPRIT 算法中角度估計(jì)值直接由旋轉(zhuǎn)不變性求解。
首先，考慮存在4 個(gè)目標(biāo)的情況并假設(shè)目標(biāo)數(shù)已經(jīng)被正確估計(jì)，得到的角度和距離估計(jì)均方根誤差和信噪比關(guān)系分別如圖8 和圖9 所示。隨信噪比增大，DBMDE 算法漸近地趨向于CRB，而基于譜峰搜索求解MUSIC 與CBF 的算法和基于多維差分進(jìn)化算法求解ML 的算法估計(jì)精度低于DBMDE 算法。
圖8 角度估計(jì)的均方根誤差與信噪比關(guān)系
圖9 距離估計(jì)的均方根誤差與信噪比關(guān)系
考慮存在5 個(gè)目標(biāo)的情況，規(guī)定角度估計(jì)誤差小于1°且距離估計(jì)誤差小于100 m 為估計(jì)成功，得到的估計(jì)成功概率與信噪比關(guān)系如圖10 所示。從圖10 可以看出，CBF 算法由于分辨力不足無(wú)法準(zhǔn)確區(qū)分位置相近的目標(biāo)�；诙嗑S差分進(jìn)化算法求解ML 的算法雖然不存在譜峰搜索所面臨的精度與計(jì)算量的矛盾，但搜索空間的大小隨目標(biāo)數(shù)的增加呈指數(shù)級(jí)擴(kuò)張。當(dāng)存在K個(gè)目標(biāo)時(shí)，每次適應(yīng)度計(jì)算的復(fù)雜度為O(M3N3)，搜索空間為2K維。對(duì)于5 個(gè)目標(biāo)時(shí)所要求解的10 維優(yōu)化問(wèn)題，基于多維差分進(jìn)化算法求解ML 的算法難以收斂至全局最優(yōu)，估計(jì)成功概率最低。而所提DBMDE 算法通過(guò)降維處理，在空間譜上進(jìn)行多峰優(yōu)化求解，每次適應(yīng)度計(jì)算的復(fù)雜度為O(M2N2K)，且搜索空間僅為2維，在計(jì)算量上具有明顯的優(yōu)勢(shì)。
圖10 估計(jì)成功概率與信噪比關(guān)系
3.3 DBMDE 算法參數(shù)分析
本節(jié)分析了DBMDE 算法中可調(diào)參數(shù)與目標(biāo)數(shù)和方位參數(shù)估計(jì)性能的關(guān)系。選取對(duì)算法性能影響較大的半徑參數(shù)ε和步長(zhǎng)參數(shù)μ進(jìn)行敏感性分析。ε在算法中既作為聚類半徑，又在式(10)和式(11)中與μ共同用于生成新個(gè)體。由于無(wú)法對(duì)每一種參數(shù)設(shè)置方法排列組合分析，因此選取了3 種典型的取值方法，仿真存在5 個(gè)目標(biāo)時(shí)目標(biāo)數(shù)被正確估計(jì)的比例；角度估計(jì)精度達(dá)到0.1°、0.01°和0.001°的比例；距離估計(jì)精度達(dá)到10 m、1 m 和0.1 m 的比例。為了盡量排除噪聲的影響，設(shè)置快拍數(shù)為100，信噪比為30 dB，DBMDE 算法參數(shù)敏感性分析結(jié)果如表3 所示。
表3 DBMDE 算法參數(shù)敏感性分析結(jié)果
對(duì)比表 3 數(shù)據(jù)可以看出，當(dāng)半徑參數(shù)ε=、步長(zhǎng)參數(shù)μ=0.5 時(shí)，DBMDE 算法取得了最優(yōu)的結(jié)果。
仿真實(shí)驗(yàn)的結(jié)果表明，所提DBMDE 算法具有較少的計(jì)算量和較強(qiáng)的穩(wěn)健性，方位參數(shù)估計(jì)的均方根誤差最接近克拉美羅界，實(shí)現(xiàn)了聯(lián)合估計(jì)并克服了其他估計(jì)算法需要目標(biāo)數(shù)作為先驗(yàn)信息的缺陷。
4 結(jié)束語(yǔ)
傳統(tǒng)的陣列信號(hào)參數(shù)估計(jì)方法的思路是先進(jìn)行目標(biāo)數(shù)估計(jì)，然后將目標(biāo)數(shù)估計(jì)結(jié)果代入?yún)?shù)估計(jì)器，在多維空間搜索得到全局最優(yōu)解。本文利用降維處理的思想，將基于頻控陣MIMO 雷達(dá)的方位參數(shù)估計(jì)問(wèn)題由多維的參數(shù)優(yōu)化問(wèn)題轉(zhuǎn)化為低維的多峰優(yōu)化問(wèn)題。通過(guò)設(shè)計(jì)DBMDE 算法進(jìn)行求解，收斂速度更快，且估計(jì)結(jié)果更接近克拉美羅界。而且所提算法可以同時(shí)得到目標(biāo)數(shù)的估計(jì)值，適用于需要對(duì)多個(gè)潛在目標(biāo)進(jìn)行探測(cè)和定位的場(chǎng)合，為陣列信號(hào)的檢測(cè)與估計(jì)研究提供了新方法。所提DBMDE 算法可擴(kuò)展應(yīng)用到其他復(fù)雜的測(cè)向問(wèn)題，如分布源的MIMO 雷達(dá)參數(shù)估計(jì)或極化敏感陣列的信源和方向聯(lián)合估計(jì)，也可用于其他多峰優(yōu)化問(wèn)題的求解。下一步的研究重點(diǎn)是設(shè)計(jì)沖擊噪聲和雜波背景下的目標(biāo)數(shù)與方位參數(shù)的高精度聯(lián)合估計(jì)方法。
附錄1 匹配濾波推導(dǎo)過(guò)程
由此得到雷達(dá)接收機(jī)中匹配濾波器的輸出結(jié)果。
附錄2 理論估計(jì)性能分析
定義Q=σ2I為噪聲協(xié)方差矩陣，根據(jù)Slepian-Bangs公式，F(xiàn)isher 信息陣F可以表示為
將Fisher 信息陣及其逆陣分別進(jìn)行分塊表示為
再由分塊矩陣求逆公式可得F-1左上部分G11的展開(kāi)形式為
由矩陣求逆公式得到角度估計(jì)和距離估計(jì)的克拉美羅界表達(dá)式為
由此得到頻控陣MIMO 雷達(dá)方位參數(shù)估計(jì)的克拉美羅界。
